Didaktik des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II

I: Fachdidaktische Grundfragen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II.- 1 Zur Analyse von Zielen.- 1.1 Zur Problematik der lernzielorientierten Curriculumentwicklung.- 1.1.1 Hinweise zur allgemeinen Curriculumforschung, Hinweise zu fachdidaktischen Tendenzen und Strömungen.- 1.1.2 Zur Situation der gymnasialen Sekundarstufe II.- 1.1.3 Generierung von Lernzielen für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II.- 1.2 Allgemeine Lernziele.- 1.2.1 Unterschiedliche Ansätze zur Generierung von allgemeinen Lernzielen.- 1.2.2 Ein Katalog allgemeiner Lernziele.- Schema 1.1 Daten und Fakten zur Situation des Mathematikunterrichts in der reformierten Oberstufe.- Schema 1.2 Wichtige Gesichtspunkte zur Generierung von Lernzielen und Zusammenhänge zwischen ihnen.- Schema 1.3 Mathematische Grundtätigkeiten im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II.- Schema 1.4 Repräsentieren.- Schema 1.5 Wichtige Ikonisierungen.- Schema 1.6 Wichtige Teilqualifikationen des Formalisierens in der Sekundarstufe II.- 2 Begriffs- und Regellernen.- 2.1 Das Lernen von Begriffen und Regeln aus psychologischer Sicht.- 2.2 Besonderheiten beim Lernen mathematischer Begriffe und Regeln.- 2.2.1 Unterschiedliche Formen mathematischer Begriffsbildung.- 2.2.2 Formen des Elementarisierens und Zugänglich-Machens.- 2.3 Fundamentale Ideen im Mathematikunterricht.- 2.4 Zur Frage der Lehrverfahren — einige Konsequenzen aus kognitiven Theorien des Lernens.- 2.4.1 Zur Gegenüberstellung: entdeckenlassendes Lehren versus expositorisches Lehren.- 2.4.2 Ausubels Verfahren des expositorischen Lehrens.- 2.4.3 Verfahren des entdeckenlassenden Lehrens im Sinne von Bruner.- 3 Problemlösen.- 3.1 Art und Funktion von Problemaufgaben.- 3.2 Heuristische Verfahrensregeln.- 3.3 Die Förderung von Problemlösefähigkeiten im Mathematikunterricht, methodische Hinweise zur Vermittlung von heuristischen Regeln.- 3.4 Empirische Untersuchungen zum Problemlösen.- Schema 3.1 Charakteristische Aspekte von Problemaufgaben.- Schema 3.2 Welche Funktion hat die Problemaufgabe im Unterricht?.- Schema 3.3 Wie sucht man die Lösung?.- Schema 3.4 Planungsschema zum Problemlosen.- 4 Beweisen im Mathematikunterricht.- 4.1 Form und Ziele des Beweisens im MU.- 4.2 Exemplarische Analyse von Beweisen.- 4.3 Beweisen: Nachvollziehen oder Selbstfinden.- Schema 4.1 Gedankliche Abfolge beim Begründen von Sätzen.- Schema 4.2 Kriterien für einen didaktisch optimalen Beweis.- Schema 4.3 Kontrolle des Beweisverständnisses.- Schema 4.4 Bewertungskriterien für Schülerbeweise.- 5 Ergänzung: Einige Hinweise zur Unterrichtsplanung.- Schema 5.1 Einige Hauptvariablen des Unterrichtsgeschehens und wichtige Beziehungen.- Schema 5.2 Handlungsdiagramm zur Planung von Unterrichtssequenzen.- II: Analysis.- 6 Positionen in der didaktischen Diskussion, historische Entwicklungslinien.- 6.1 Einführung in die Intentionen des Konzepts.- 6.2 Fachliche und fachdidaktische Positionen zum Analysisunterricht.- 6.3 Entwicklungslinien — Anmerkungen zur Geschichte der Infinitesimalrechnung.- 7 Leitideen im Analysisunterricht, die der Differential- und Integralrechnung vorausgehen.- 7.1 Reelle Zahlen.- 7.2 Zum Funktionsbegriff.- 7.3 Zum Grenzwert- und Stetigkeitsbegriff.- Schema 7.1 Stetigkeitsdefinitionen.- Schema 7.2 Leitideen im Analysisunterricht.- 8 Zentrale Mathematisierungsmuster der Analysis.- 8.1 Verwendungssituationen und Mathematisieren.- 8.2 Mathematisierungsmuster in Naturwissenschaften und Technik.- 8.3 Mathematisierungsmuster in Wirtschafts- und Sozialwissenschaften.- 8.4 Defizite beim Transfer von Begriffen der Analysis.- Schema 8.1 Zentrale Mathematisierungsmuster.- Schema 8.2 Reelle Funktionen als Mathematisierungsmuster (Möglichkeiten für ihre Gewinnung und Repräsentation, Eigenschaften).- Schema 8.3 Spezielle Funktionen als Mathematisierungsmuster.- 9 Bereichsspezifische Strategien und dynamische Aspekte in der Analysis.- 9.1 Bereichsspezifische Strategien.- 9.2 Zum Exaktifizieren.- 9.3 Algorithmische Aspekte — Zum Einsatz von Taschenrechnern und Computern.- Schema 9.1 Strategien in der Analysis.- 10 Fundamentale Ideen in der Differentialrechnung.- 10.1 Zugänge zum Ableitungsbegriff.- 10.2 Zur Ableitung von Funktionen.- 10.2.1 Ableitungen spezieller Funktionen.- 10.2.2 Ableitungsfunktion, Stammfunktion.- 10.2.3 Ableitungsregeln.- 10.3 Globale Sätze.- Schema 10.1 Differenzierbarkeitsdefinitionen.- Schema 10.2 Ableitungsregeln.- Schema 10.3 Globale Sätze der Differentialrechnung.- 11 Fundamentale Ideen in der Integralrechnung.- 11.1 Zugänge zum Integralbegriff.- 11.2 Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 11.3 Einige Bemerkungen zu Differentialgleichungen.- III: Analytische Geometrie und lineare Algebra.- 12 Fundamentale Ideen.- 12.1 Leitideen.- 12.2 Zentrale Mathematisierungsmuster.- 12.3 Bereichsspezifische Strategien, innermathematische Problemfelder.- Schema 12.1 Leitideen zur linearen Algebra im Umfeld der Schulmathematik.- Schema 12.2 Zentrale Mathematisierungsmuster.- Schema 12.3 Bereichsspezifische Strategien.- Schema 12.4 Elementargeometrische Probleme in vektorieller Behandlung.- Schema 12.5 Aufgabenbeispiele für einige schulrelevante Mathematisierungsprobleme.- 13 Fachdidaktische Positionen zur analytischen Geometrie und linearen Algebra (Darstellung).- 13.1 Position 1: Die analytische Geometrie der Traditionellen Mathematik (Kegelschnittlehre); die Weiterentwicklung zur vektoriellen analytischen Geometrie.- 13.2 Position 2: Begründung der linearen Algebra aus der Geometrie.- 13.3 Position 3: Der affine Raum als Vektorraum.- 13.4 Position 4: Anlehnung an die universitären Grundvorlesungen.- 13.5 Position 5: Ein Zugang über Matrizen; die Orientierung an außermathematischen Motivierungen.- 13.6 Position 6: Aufbau der linearen Algebra über die Behandlung von Gleichungssystemen.- 13.7 Position 7: n-Tupel und ihre geometrische Interpretation.- Schema 13.1 Vergleichende Übersichtsdarstellung der Positionen 3 und 4.- 14 Vergleichende Analyse fachdidaktischer Positionen, programmatische Überlegungen.- 14.1 Vergleichende Analyse fachdidaktischer Positionen, zur unterschiedlichen Behandlung einzelner Inhalte.- 14.1.1 Fragen eines axiomatisch-deduktiven Aufbaus.- 14.1.2 Unterschiedliche Behandlung des Vektorbegriffs in der SII; affine Räume.- 14.1.3 Zur Einführung des Skalarprodukts.- 14.1.4 Art und Umfang geometrischer Fragestellungen.- 14.1.5 Zur Bewertung algorithmischer und anwendungsorientierter Zugänge; lineare Gleichungssysteme und Matrizen; außermathematische Motivierung.- 14.2 Programmatische Überlegungen.- Schema 14.1 Schulrelevante Interpretationen des Vektorbegriffs.- Schema 14.2 Verschiedene Einführungen des Skalarprodukts.- 15 Ergänzung: Abbildungen, Determinanten.- 15.1 Lineare und affine Abbildungen.- 15.2 Determinanten.- Schema 15.1 Analogien bei Determinanten.- IV: Stochastik.- 16 Einleitung.- 16.1 Bemerkungen zur Geschichte der Stochastik.- 16.2 Bemerkungen zur didaktischen Konzeption.- 17 Wahrscheinlichkeitsraum.- 17.1 Zum fachlichen Hintergrund.- 17.1.1 Zu Grundlagenfragen der Wahrscheinlichkeitstheorie.- 17.1.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Laplace.- 17.1.3 Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Mises.- 17.1.4 Häufigkeitsinterpretation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs.- 17.2 Zur Behandlung des Wahrscheinlichkeitsraumes im MU.- 17.2.1 Vorbemerkung.- 17.2.2 Ereignisraum.- 17.2.3 Wahrscheinlichkeitsbegriff.- 17.2.4 Mengentheoretischer Formalismus.- 17.2.5 Bereichsspezifische Strategien.- 17.2.6 Zur Auswahl von Modellen für Wahrscheinlichkeitsräume.- 17.2.7 Zur didaktischen Diskussion über die Behandlung von Wahrscheinlichkeitsräumen.- 18 Verknüpfungen von Wahrscheinlichkeiten.- 18.1 Additionssatz.- 18.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit.- 18.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit.- 18.2.2 Totale Wahrscheinlichkeit.- 18.2.3 Bayes-Regel.- 18.2.4 Unabhängigkeit, Multiplikationssatz.- 19 Modellierungen in der Stochastik.- 19.1 Zur Problematik der Modellbildung.- 19.2 Theoretischer Weg zur Gewinnung von Modellen.- 19.2.1 Symmetrieprinzip.- 19.2.2 Kombinatorik.- 19.2.3 Laplace-Produkträume für das Ziehen mit und ohne Zurücklegen.- 19.3 Empirischer Weg zur Gewinnung von Modellen.- 19.4 Simulation von Zufallsexperimenten.- 19.5 Mathematisierungsmuster für den Stochastikunterricht.- 20 Zufallsgrößen und ihre Verteilungen.- 20.1 Zufallsgrößen, Verteilungen.- 20.2 Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung.- 20.3 Spezielle Verteilungen.- 20.3.1 Gleichverteilung.- 20.3.2 Hypergeometrische Verteilung.- 20.3.3 Binomialverteilung.- 20.3.4 Poisson-Verteilung.- 20.3.5 Normalverteilung.- 21 Grenzwertsätze.- 21.1 Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen.- 21.2 Sätze von Moivre-Laplace.- 21.3 Zentraler Grenzwertsatz.- 22 Beschreibende Statistik.- 23 Beurteilende Statistik.- 23.1 Punktschätzung.- 23.2 Intervallschätzung.- 23.3 Hypothesentest.- 24 Ergänzungen.- 24.1 Mehrdimensionale Zufallsgrößen.- 24.2 Markov-Ketten.- 25 Schema zu Teil IV.- Sachwortverzeichnis.