Vorlesungen Über Differential- und Integralrechnung

Vorbemerkungen.- Erstes Kapitel. Vorbereitungen..- § 1. Der Zahlbegriff.- Das System der reellen Zahlen. S..- Die Zahlensysteme. S..- § 2. Der Funktionsbegriff.- Beispiele. S..- Begriffliche Formulierung. S..- Graphische Darstellung. Eindeutigkeit und Mehrdeutigkeit. Stetigkeit. S..- Umkehrfunktionen. S..- § 3. Nähere Betrachtung der elementaren Funktionen.- Die rationalen Funktionen. S..- Algebraische Funktionen. S..- Die trigonometrischen Funktionen. S..- Exponentialfunktion und Logarithmus. S..- § 4. Funktionen einer ganzzahligen Veränderlichen.- § 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele.- $$ {a_n}=\frac{1}{n}\bullet $$ S..- $$ {a_{{2m}}}=\frac{1}{m};\,{a_{{2m-1}}}=\frac{1}{{2m}}\bullet $$ S..- $$ {a_n}=\frac{n}{{n+1}}\bullet $$ S..- $$ {a_n}=\sqrt[n]{p}\bullet $$ S..- $$ {a_n}={\alpha^n}\bullet $$ S..- Zur geometrischen Veranschaulichung der Grenzwerte von ?n und $$ {\alpha^n}\,und\,\sqrt[n]{p}\bullet $$ S..- Die geometrische Reihe.S..- $$ {a_n}=\sqrt[n]{n}\bullet $$S..- $$ {a_n}=\sqrt {{n+1}}-\sqrt {n} \bullet $$ S..- $$ {a_n}=\frac{n}{{2n}}\bullet $$ S..- Genauere Erörterung des Grenzwertbegriffes.- Allgemeines. S..- Rechnen mit Grenzwerten. S..- Die Zahl e. S..- Die Zahl n als Grenzwert. S..- Das arithmetisch-geometrische Mittel. S..- § 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veränderlichen.- § 8. Der Begriff der Stetigkeit.- Definitionen. S..- Unstetigkeitspunkte. S..- Sätze über stetige Funktionen. S..- Anhang zum ersten Kapitel..- Vorbemerkungen.- § 1. Das Häufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen.- Das Häufungsstellen-Prinzip. S..- Grenzwerte von Zahlenfolgen. Beweis des Cauchyschen Konvergenzkriteriums. S..- Oberer und unterer Häufungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge. S..- § 2. Sätze über stetige Funktionen.- Größter und kleinster Wert stetiger Funktionen. S..- Die Gleichmäßigkeit der Stetigkeit. S..- Der Zwischenwertsatz. S..- Umkehrung einer stetigen monotonen Funktion. S..- Weitere Sätze über stetige Funktionen. S..- § 3. Bemerkungen über die elementaren Funktionen.- § 4. Polarkoordinaten.- § 5. Bemerkungen über komplexe Zahlen.- Zweites Kapitel. Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung..- § 1. Das bestimmte Integral.- Das Integral als Flächeninhalt. S..- Die analytische Definition des Integrales. S..- Ergänzungen, Bezeichnungen und Grundregeln für das bestimmte Integral. S..- § 2. Beispiele.- Erstes Beispiel. S..- Zweites Beispiel. S..- Integration von x? bei beliebigem positiven ganzzahligen a. S..- Integration von x? für beliebiges rationales ? ?-1. S..- Integration von sin x und cos x. S..- § 3. Die Ableitung oder der Differentialquotient.- Differentialquotient und Kurventangente. S..- Der Differentialquotient als Geschwindigkeit. S..- Beispiele. S..- Einige Grundregeln für die Differentiation. S..- Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktionen. S..- Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung. S..- Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von Leibniz. S..- Der Mittelwertsatz. S..- Angenäherte Darstellung beliebiger Funktionen durch lineare. — Differentiale. S..- Bemerkungen über die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissenschaft. S..- § 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamentalsätze der Differential- und Integralrechnung.- Das Integral als Funktion der oberen Grenze. S..- Der Differentialquotient des unbestimmten Integrales. S..- Die primitive Funktion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Integrales. S..- Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausführung bestimmter Integrale. S..- Einige Beispiele. S..- § 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration.- § 6. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten.- Die Massenverteilung und Dichte; Gesamtquantität und spezifische Quantität. S..- Gesichtspunkte der Anwendungen. S..- § 7. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. S..- Anwendungen. Die Integration von x? für beliebiges irrationales a. S..- Anhang zum zweiten Kapitel..- § 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion.- § 2. Zusammenhang des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem.- Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Drittes Kapitel. Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen..- § 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen 109 Differentiationsregeln. S..- Differentiation der rationalen Funktionen. S..- Differentiation der trigonometrischen Funktionen. S..- § 2. Die entsprechenden Integralformeln.- Allgemeine Integrationsregeln. S..- Integration der einfachsten Funktionen. S..- § 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient.- Die allgemeine Differentiationsformel. S..- Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen. S..- Die zugehörigen Integralformeln. S..- § 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen.- Die Kettenregel. S..- Beispiele. S..- Nochmals Integration und Differentiation von x? für irrationales ?. S..- § 5. Maxima und Minima.- Allgemeine Vorbemerkungen über die geometrische Bedeutung der Differentialquotienten. S..- Maxima und Minima. S..- Beispiele für Maxima und Minima. S. 131..- § 6. Logarithmus und Exponentialfunktion.- Definition des Logarithmus. Differentiationsformel. S..- Das Additionstheorem. S..- Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus. S..- Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponentialfunktion). S..- Die allgemeine Exponentialfunktion ?x und die allgemeine Potenz x?. S..- Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte. S..- Schlußbemerkungen. S..- § 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion.- Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung. S..- Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall. S..- Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium. S..- Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe über dem Erdboden. S..- Verlauf chemischer Reaktionen. S..- Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes. S..- § 8. Die Hyperbelfunktionen.- Analytische Definition. S..- Additionstheoreme und Differentiationsformeln. S..- Die Umkehrfunktionen. S..- Weitere Analogien. S..- § 9. Die Größenordnung von Funktionen.- Begriff der Größenordnung. Einfachste Fälle. S..- Die Größenordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus. S..- Allgemeine Bemerkungen. S..- Die Größenordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes. S..- Größenordnung des Verschwindens einer Funktion. S..- Anhang zum dritten Kapitel..- §1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen.- Die Funktion $$ y={e^{{-\frac{1}{{{x^2}}}}}}\bullet $$ S..- Die Funktion $$ y={e^{{-\frac{1}{x}}}}\bullet $$ S..- Die Funktion $$y = \mathfrak{T}\mathfrak{g}\frac{1}{x}.$$ S..- Die Funktion $$y = x \mathfrak{T}\mathfrak{g}\frac{1}{x}.$$ S..- Die Funktion $$ y=x\,\sin \,\frac{1}{x},\,y(0)=0\bullet $$ S..- § 2. Bemerkungen über die Differenzierbarkeit von Funktionen.- § 3. Verschiedene Einzelheiten.- Beweis des binomischen Satzes. S..- Fortgesetzte Differentiation. S..- Weitere Beispiele für Anwendung der Kettenregel. Verallgemeinerter Mittelwertsatz. S..- Viertes Kapitel. Weiterer Ausbau der Integralrechnung..- § 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale.- § 2. Die Substitutionsregel.- Die Substitutionsformel. S..- Neuer Beweis der Substitutionsformel. S..- Beispiele. Integrationsformeln. S..- § 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode.- § 4. Die Produktintegration.- Allgemeines. S..- Beispiele. S..- Rekursionsformeln. S..- Die Wallissche Produktzerlegung von ?. S..- § 5. Integration der rationalen Funktionen.- Aufstellung der Grundtypen. S..- Integration der Grundtypen. S..- Die Partialbruchzerlegung. S..- Beispiel. Chemische Reaktionen. S..- Weitere Beispiele für Partialbruchzerlegung. (Methode der unbestimmten Koeffizienten.) S..- § 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen.- Vorbemerkungen über die rationale Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen. S..- Integration von R (cos x, sin x). S..- Integration von R (Cof x, Sin x). S..- Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{1-{x^2}}}} \right)\bullet $$ S..- Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{{x^2}+1}}} \right)\bullet $$ S..- — Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{{x^2}+1}}} \right)\bullet $$ S..- Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{a{x^2}+2bx+c}}} \right)\bullet $$ S..- Weitere Beispiele für Zurückführung auf Integrale rationaler Funktionen. S..- Bemerkungen zu den Beispielen. S..- § 7. Bemerkungen über Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren.- Funktionen integrieren lassen.- Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale. S..- Grundsätzliches über Differentiation und Integration. S..- § 8. Erweiterung des Integralbegriffes. Uneigentliche Integrale.- Funktionen mit Sprungstellen. S..- Funktionen mit Unendlichkeitsstellen. S..- Unendliches Integrationsintervall. S..- Fünftes Kapitel. Anwendungen..- § 1. Darstellung von Kurven.- Die Parameterdarstellung. S..- Die zu einer Kurve gehörigen Differentialquotienten bei Parameterdarstellung. S..- Übergang zu neuen Koordinatensystemen bei Parameterdarstellung. S..- Allgemeine Bemerkungen. S..- § 2. Anwendung auf die Theorie der ebenen Kurven.- Der Flächeninhalt in rechtwinkligen Koordinaten. S..- Flächeninhalt in Polakroordinaten. S..- Länge einer Kurve. S..- Die Krümmung einer Kurve. S..- Schwerpunkt und statisches Moment einer Kurve. S..- Flächeninhalt und Volumen einer Rotationsfläche. S..- Trägheitsmoment. S..- § 3. Beispiele.- Die gemeine Zykloide. S..- Kettenlinie. S..- Ellipse und Lemniskate. S..- § 4. Die einfachsten Probleme der Mechanik.- Grundvoraussetzungen aus der Mechanik. S..- Freier Fall. Reibung. S..- Die einfachste elastische Schwingung. S..- Die allgemeine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurve. S..- § 5. Weitere Anwendungen: Fall eines Massenpunktes auf einer Kurve...- Allgemeines. S..- Diskussion der Bewegung. S..- Das gewöhnliche Pendel. S..- Das Zykloidenpendel. S..- § 6. Arbeit.- Allgemeines. S..- Erstes Beispiel. Massenanziehung. S..- — Zweites Beispiel. Spannen einer Feder. S..- Drittes Beispiel. Aufladen eines Kondensators. S..- Anhang zum fünften Kapitel..- Eigenschaften der Evolute.- Sechstes Kapitel. Die Taylorsche Formel und die Annäherung von Funktionen durch ganze rationale..- § 1. Der Logarithmus und der Arcustangens.- Der Logarithmus. S..- Der Arcustangens. S..- § 2. Die allgemeine Taylorsche Formel.- Die Taylorsche Formel für ganze rationale Funktionen. S..- Die Taylorsche Formel für eine beliebige Funktion. S..- Abschätzung des Restgliedes. S..- § 3. Anwendungen. Entwicklung der elementaren Funktionen.- Die Exponentialfunktion. S..- sin x, cos x, Sin x, (Cof x. S..- — Die binomische Reihe. S..- § 4. Geometrische Anwendungen.- Berührung von Kurven. S..- Der Krümmungskreis als Oskulationskreis. S..- Zur Theorie der Maxima und Minima. S..- Anhang zum sechsten Kapitel..- § 1. Beispiel einer Funktion, die sich nicht in eine Taylorsche Reihe.- entwickeln läßt.- § 2. Beweis der Irrationalität von e.- § 3. Nullstellen, Unendlichkeitsstellen von Funktionen und sogenannte unbestimmte Ausdrücke.- § 4. Das Problem der Interpolation und sein Zusammenhang mit der Taylorschen Formel.- Problemstellung und Vorbemerkungen. S..- Konstruktion der Lösung. Die Steigungen einer Funktion. Die Newtonsche Interpolationsformel. S..- Zusammenhang zwischen Steigungen und Ableitungen. Restabschätzungen. S..- Die Interpolationsformel von Lagrange. S..- Siebentes Kapitel. Exkurs über numerische Methoden..- Vorbemerkungen.- § I. Numerische Integration.- Rechtecksregel. S..- Trapezformel und Tangentenformel. S..- — Die Simpsonsche Regel. S..- Beispiele. S..- Fehlerabschätzung. S..- § 2. Anwendungen des Mittelwertsatzes und des Taylorschen Satzes281 Die,,Fehlerrechnung“. S..- Berechnung von n. S..- Berechnung der Logarithmen. S..- § 3. Numerische Auflösung von Gleichungen.- Das Verfahren von Newton. S..- Regula falsi. S..- Beispiel. S..- Anhang zum siebenten Kapitel..- Die Stirlingsche Formel.- Achtes Kapitel. Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse..- Vorbemerkungen.- § 1. Die Begriffe Konvergenz und Divergenz.- Grundbegriffe. S. 293..- Absolute und bedingte Konvergenz. S..- Umordnung der Reihenglieder. S..- Das Rechnen mit unendlichen Reihen. S..- § 2. Untersuchung der Konvergenz und Divergenz.- Das Prinzip der Reihenvergleichung. S..- Vergleichung mit der geometrischen Reihe. S..- Vergleichung mit einem Integral. S..- § 3. Grenzübergänge und Reihen von Funktionen einer Veränderlichen.. 307 Allgemeines. S..- Grenzübergänge mit Funktionen und Kurven. S..- § 4. Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz.- Allgemeines und Beispiele. S..- Kriterium der gleichmäßigen Konvergenz. S..- Stetigkeit gleichmäßig konvergenter Reihen stetiger Funktionen. S..- Die Integration gleichmäßig konvergenter Reihen. S..- Differentiation unendlicher Reihen. S..- § 5. Potenzreihen.- Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe. S..- Die Integration und Differentiation von Potenzreihen. S..- Das Rechnen mit Potenzreihen. S..- Eindeutigkeitssatz für die Potenzreihen. S..- §6. Entwickelung gegebener Funktionen in Potenzreihen. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Beispiele.- Die Exponentialfunktion. S..- Die binomische Reihe. S..- Die Reihe für arc sin x. S..- Die Potenzreihenentwicklung von Ax Sin $$\mathfrak{A}\mathfrak{r} \mathfrak{S}\mathfrak{i}\mathfrak{n} x = \log (x + \sqrt 1 + \sqrt {{x^2}} ).$$ S..- Beispiel für Reihenmultiplikation. S..- Beispiel für gliedweises Integrieren. Elliptisches Integral. S..- § 7. Potenzreihen mit komplexen Gliedern.- Einführung komplexer Glieder in Potenzreihen. S..- Ausblick auf die allgemeine Funktionentheorie. S..- Anhang zum achten Kapitel..- § 1. Multiplikation und Division von Reihen.- Multiplikation absolut konvergenter Reihen. S..- Multiplikation und Division von Potenzreihen. S..- § 2. Grenzübergänge, die mit der Exponentialfunktion zusammenhängen..- Die Gleichmäßigkeit des Grenzüberganges $$ {\left({1+\frac{x}{n}} \right)^n} \to {e^x}\bullet $$ S..- Bemerkung über Integration und Differentiation der Exponentialfunktion. S..- Beweis der Formel $$ \int\limits_0^{\infty} {{e^{{-{x^2}}}}} \,dx=\frac{1}{2}\sqrt {\pi} \bullet $$ S..- § 3. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- § 4. Unendliche Produkte.- § 5. Weitere Beispiele für unendliche Reihen.- Verschiedene Entwicklungen. S..- Reihen, in denen die Bernoullischen Zahlen auftreten. S..- Neuntes Kapitel. Fouriersche Reihen..- § 1. Die periodischen Funktionen.- Allgemeines. S..- Zusammensetzung von reinen Schwingungen. Obertöne. Schwebungen. S..- § 2. Die Verwendung der komplexen Schreibweise.- Allgemeine Bemerkungen. S..- Anwendung in der Lehre vom Wechselstrom. S..- Komplexe Darstellung der Superposition von reinen Schwingungen. S..- Ableitung einer trigonometrischen Formel. S..- §3. Trigonometrische Interpolation.- Lösung des Interpolationsproblems. S..- Grenzübergang zur Fourierschen Reihe. S..- § 4. Beispiele für die Fouriersche Reihe.- Vorbemerkungen. S..- Entwicklung der Funktionen ? (x)=x und ? (x)=x2. S..- Entwicklung der Funktion x cos x. S..- f (x)= | x |. S..- Beispiel. S..- f (x)=| sin x |. S..- Entwicklung der Funktion cos ? x. Partialbruchzerlegung des Kotangens. Produktzerlegung des Sinus. S..- Weitere Beispiele. S..- § 5. Strenge Begründung der Fourierschen Reihenentwicklung.- Die Konvergenz der Fourierschen Reihe einer stückweise glatten Funktion. S..- Genauere Untersuchung der Konvergenz. S..- § 6. Die mittlere Approximation durch trigonometrische Polynome.- Anhang zum neunten Kapitel..- Beispiele zur trigonometrischen Interpolation.- Vorbemerkungen. S..- Einzelne Beispiele. S..- Zehntes Kapitel. Die Differentialgleichungen der einfachsten Schwingungsvorgänge..- § 1. Schwingungsprobleme der Mechanik und Physik.- Einfachste mechanische Schwingungen. S..- Elektrische Schwingungen. S..- § 2. Lösung der homogenen Gleichung. Freie Bewegungen.- Formale Auflösung. S..- Physikalische Deutung der Lösung. S..- Anpassung an gegebene Anfangsbedingungen. Eindeutigkeit der Lösung. S..- § 3. Unhomogene Gleichung. Erzwungene Bewegungen.- Allgemeine Bemerkungen. S..- Lösung der unhomogenen Gleichung. S..- Die Resonanzkurve. S..- Nähere Diskussion des Schwingungsablaufes. S..- Bemerkungen über den Bau von Registrierinstrumenten. S..- Schlußbemerkung.